拐点的充要条件是：二阶导数在这个点的左右两侧变号。二阶导数等于0是必要条件，若三阶导数不为0（前提存在），则必是拐点。三阶导数也为0，结论不定。比如f(x)=x^4，0点的2 3阶导数都是0，但0不是拐点。从集合的角度来说，必要条件的集合包含要证明的集合，充分条件的集合，是证明集合的子集。总之，必要条件的集合包含的范围大些，充分的小些。
拐点的定义：
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方（例如：经济运行出现回升拐点）。
拓展：
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
（1）求f''(x)；
（2）令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
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